Progressão Aritmética P.A.

DEFINIÇÃO de sucessão ou sequência: Conjuntos de objetos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem
bem determinada.

Para representar uma sequência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses.

É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência.

Exemplos:

a) O conjunto (janeiro, fevereiro, março, abril… dezembro) é chamado sequência ou sucessão dos meses do ano.

b) O conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5…) é chamado sequência ou sucessão dos números naturais.

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma sequência numérica pode ser finita ou infinita.

Exemplos:

a) (3, 6, 9, 12) é uma sequência finita.
b) (5, 10, 15…) é uma seqüência infinita. 

REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA

A representação matemática de uma sucessão é dada da seguinte forma:

(a₁, a₂, a₃, …a_n-1, a_n), em que:

· a₁ é o primeiro termo;

· a₂ é o segundo termo;

· a_n é o enésimo termo.

Aplicação

Dada a seqüência (2, 4, 6, 8, 10), calcular:

a) a₃ b) a₂+ 3a₁

Solução:

a) a₃ é o terceiro termo; logo, a₃ = 6.

b) a₂+ 3a₁ = 4 + 3.2 = 4 + 6 = 10. 

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P. A.)

É toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número constante r (razão).

Exemplos:

a) (9, 7, 5, 3…)

7 = 9 +(–2)

5 = 7 + (–2) → –2 é a razão da progressão aritmética.

3 = 5 +(–2) 

b) (5, 10, 15, 20)

10 = 5 + 5

15 = 10 + 5 →5 é a razão da progressão aritmética.

20 = 15 + 5

CLASSIFICAÇÃO

Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em:

1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva.

Exemplo:

(4, 8, 12…) → r = 4 > 0 (positiva)

2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa.

Exemplo:

(10, 7, 4, 1, –2, –5)→ r = – 3 < 0 (negativa)

3. Constantes – São aquelas cuja razão é nula.

Exemplo:

(6, 6, 6, 6) → r = 0 

FÓRMULA DO TERMO GERAL 

Para obter o enésimo termo de uma P.A., basta somar (n – 1) vezes a razão ao primeiro termo. Com isso, podemos achar qualquer termo dentro de uma PA pela expressão:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

Em que:

an é o enésimo termo (termo geral);

a₁ é o primeiro termo;

n é o número de termos;

r é a razão.

Exemplos: 
1. Qual é o oitavo termo da P. A. (4, 7…)?

Solução: Determina-se a razão: a₂ – a₁  

a₂ = 7 e a₁ 4 então:

r = 7 – 4 = 3

Como procuramos o oitavo termo, n = 8

a_n = a₁ + (n – 1) . r

a₈ = 4 + (8 – 1). 3

a₈ = 4 + 7.3

a₈ = 25. 

2. Quantos termos tem a PA(8, 12, ... , 168)?

Dados do problema:

a₁ = 8

a_n = 168

r = a₂ – a₁ = 12 – 8 = 4

n = ?

Aplicando a Fórmula do termo geral temos:

a_n = a₁ + (n – 1).r

168 = 8 + (n – 1). 4

168 = 8 + 4.n – 4

168 – 4 = 4.n

164 ÷ 4 = n  \ n = 41 termos

3. Qual o primeiro termo da P.A.( ... , 78, 81) sabendo que ela possui 20 termos?
Dados do problema:

a₁ = ?

a₂₀ = 81

r = 3

n = 20 

Aplicando a Fórmula do termo geral temos:

a_n = a₁ + (n – 1).r
81 = a₁ + (20 - 1).3
81 = a₁ + 19.3
81 = a₁ + 57

81 - 57 = a₁ \ a₁ = 24

 Exercícios de Fixação:

Continua....

Aguardem outros exemplos amanhã nesta mesma página e exercícios

Prof Claudio

Abril/2016